રેખા $\frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2}$ અને સમતલ $3x + 2y + 6z = 1$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

રેખા $\bar{r} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} + \lambda(\hat{i} - 2\hat{j})$ અને સમતલ $\bar{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 4$ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

બિંદુઓ $(5, -1, 4)$ અને $(4, -1, 3)$ ને જોડતા રેખાખંડનો સમતલ $x + y + z = 7$ પરના પ્રક્ષેપની લંબાઈ શોધો:

રેખા $\frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{1}$ અને બિંદુ $(0, 7, -7)$ ને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ મેળવો.

ધારો કે $\pi_1$ એ $\bar{i}+\bar{j}$ અને $\bar{i}+\bar{k}$ સદિશો દ્વારા નિર્ધારિત સમતલ છે અને $\pi_2$ એ $\bar{j}-\bar{k}$ અને $\bar{k}-\bar{i}$ સદિશો દ્વારા નિર્ધારિત સમતલ છે. ધારો કે $\bar{a}$ એ $\pi_1$ અને $\pi_2$ સમતલોની છેદરેખાને સમાંતર એક શૂન્યેતર સદિશ છે. જો $\bar{b}=\bar{i}+\bar{j}-\bar{k}$ હોય, તો સદિશો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ધારો કે રેખા $\ell: x = \frac{1-y}{-2} = \frac{z-3}{\lambda}, \lambda \in R$ એ સમતલ $P: x + 2y + 3z = 4$ ને બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ માં મળે છે. જો રેખા $\ell$ અને સમતલ $P$ વચ્ચેનો ખૂણો $\cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{5}{14}}\right)$ હોય,તો $\alpha + 2\beta + 6\gamma$ ની કિંમત શોધો.